ロゴのデザイン料未払い・無断使用。どのような対応が出来ますか?

2023年6月、
これから起業される会社様からロゴの作成を
ココナラを通してご相談をいただきました。

会社様よりご希望のイメージをお伝えいただきまして、
いくつかロゴのご提案をさせていただきましたが、
会社様の方からのお支払いはされることはありませんでした。

契約書などは特に交わしておらず、
このようなものはいかがでしょう?
のように提案を投げかけていただけの状態ではあります。
(提案後にロゴを選定いただき、そこからお支払いいただく気持ちでした。)

その後、連絡を何度か入れましたが、
結局返ってくることはなく一年後の2024年7月現在に至ります。
ふと会社様の名前で検索してみたところ、
提案していたロゴの使用をHPにて確認できました。

当時の提案金額は10,000円で、
スクリーンショットや動画でのHPで使用している証拠撮影は完了しています。

この場合ですが、無断使用でのデザイン料の支払いを命じることは可能でしょうか?
また、金額としては同等の金額を請求することができるのか、
それとも慰謝料のように加えての請求は可能なのでしょうか?

質問は以上になります。
長文お読みいただきありがとうございました。

慰謝料の請求は難しいかと思われますが、勝手に使用している分のデザイン料もしくは使用料については請求できる可能性があるでしょう。

ご連絡ありがとうございます。
大変参考になります。

相手方のHPに問い合わせ先があるのですが、
そちらからデザイン料の請求として連絡しようかと考えています。

その際、お支払いに応じない
または連絡がつかないようであれば
SNSにて未払い使用されたなどの注意喚起をすることは問題ないのでしょうか?

お手数ですが、ご回答いただけると幸いです。

snsでの注意喚起については名誉毀損等になるリスクがあるため避けた方が良いかと思われます。

ありがとうございます、参考にいたします。