労働条件通知書の提示時期や試用期間について

正社員の求人に応募して電話にて採用していただきました。

労働条件通知書の提示を求めましたが、当日になると言われました。
これは法律上ありなのでしょうか?

また、求人票には試用期間なしと書いてあったのですが、半年後に本採用となると口頭で言われました。
これはどういう意味だと推測できますか?
試用期間が半年あるということでしょうか?半年間契約社員ということでしょうか?

使用者は、労働契約の締結に際し、労働者に対して賃金、労働時間その他の労働条件を明示しなければならないとされており(労働基準法15条)、労働契約は通常採用内定により成立すると解されているので(最判昭和54年7月20日、最判昭和55年5月30日)、内定時に労働条件を明示する必要があると解されます。

求人票と違うことを言われたということなので、何とも言えません。
会社に問い合わせたほうがいいと考えられます。