どうやったら慰謝料を多く払ってもらえるか。

誹謗中傷をされ、開示請求しました。
なかなかの金額が掛かったので示談で和解しようとしましたが、120万で請求しても相手は「2万しか払わない」の一点張り。無職というわけでも病人でもなく普通に働いているのに絶対に払おうとしません…。
こちらの弁護士は 「裁判しても10万円代の判決が多い印象」と言っていて、裁判費用を掛けてまで裁判する気も無くなりました…。
開示請求後も相手が私にずっと粘着をしてきて、誹謗中傷の書き込みをされました。かなり悪質で刑事告訴も視野に入れましたが、失うものが正直なさそうな相手なので刑事告訴は取りやめました。
相手は第三者に開示請求の件を口外されることをとても恐れているため、口外禁止条項を私が拒否しようと思っています。
口外されたくないがために「慰謝料を多く払うので口外禁止でお願いします」と言ってくるのを待ってみようと思うのですが、そう言ってくる可能性はありますか?

可能性はあるかもしれませんが、それがどの程度の可能性であるかは何ともいい難いところです。
確かに日本の裁判所が認定する慰謝料は少額ですが、訴訟に至れば発信者情報開示に要した弁護士費用なども損害として請求することが多く(現在の裁判例の傾向では損害として認めない裁判例はほとんどなく、開示請求の際に支払った弁護士費用の全額を損害認定した事案も割とあります)、請求金額としても相応のインパクトがあります。口外禁止を設定したくないのであれば、なおさら訴訟で解決する方がベターと考えることもできます。
詳しい事案がわからないため一般論ではありますが、相手方としては、あなた側が訴訟を回避したいという考えを抱いていると感じて開き直っているという雰囲気も感じられるところです。依頼した弁護士と、今後の進め方をよく話し合われた方がよいと思います。

具体的な事情が不明なため、どの程度の慰謝料となるか見込みもつきにくいですが、発信者特定のためにかかった調査費用を含めて訴訟で請求されることも検討はされても良いかと思われます。

裁判外の交渉では、最終的に相手が無視をして連絡を返さなくなると行き詰まってしまうため、そのリスクもあるでしょう。