この場合損害賠償請求はできますか?

正社員として働きながら副業でバイトをしてました。
バイト先から正社員にならないかと言われたのですが、今の職場の方が条件が良いので、今の職場の社長に続けて8月まで働けるか確認すると、大丈夫と言って貰えました。
なので、バイト先からの誘いは断り、正社員として専念するために退職することにしました。
しかし、1週間後くらいにやっぱり4月末で辞めてもらえますか?お給料を支払えないので。と言われてしまい、現在無職です。
正社員として働いていた職場に損害賠償請求は出来るのでしょうか。
8月まで働いていいと言われたのは口約束です。

解雇と見ると、ひとつは、8月までの就労合意があるので、使用者の債務不履行として
8月までの給与逸失分の請求、または、少なくとも1か月分の解雇予告手当を請求する
ことになるでしょう。
ただし、解雇ではなく合意退職と反論される可能性はありますね。

退職勧奨だとしても合意退職だと反論される可能性はありますか?
給料を支払うことが出来ないと言われてしまったのに働けるはずもなく、辞めるしか方法は無かったです。

退職勧奨自体は合法です。
退職勧奨が違法レベルと見られれば、合意退職とは言えないでしょう。
労基に相談されてもいいし、その後、労働審判に持ち込んでもいいでしょう。
終わります。