車で体当たりされ自転車ごと転倒 過失比率を下げようと値切る相手保険会社に心底怒り

弁護士保険を使った弁護士依頼案件です。私が自転車で道路の端を走行中、接触しそうなくらいすぐ傍をすごいスピードで抜かしていった車がいて大変怖い思いをしました。しばらく先に信号待ちでその車が止まっていたのであんなスレスレの間隔でスピード出して危ないじゃないかという抗議をしたらうるせえ、因縁つけんのかなどと怒鳴られました。こんな人間は話にならないとさっさと帰ることにし、道路の先を走行していたらおい!待てよ!と怒鳴られて何とその車は白線内の歩道を走っていた私に車体ごと側面から助手席側に故意にハンドルを切って体当たりしてきたのです。私は自転車ごと倒され転倒して着地した膝からは出血しました。その私を見てその運転手はなめんじゃねえぞみたいな口のきき方でざまあみろみたいな風情でした。幸い打撲だけで済み、一か月ほどの通院で治りました。事故当日の現場検証ではハンドルを誤って切り過ぎてぶつかったという供述を加害者はしていて警察に促されて私に謝罪をしました。しかし、いざ示談の段階になって加害者はカメラ等の証拠がないことをいいことに追突されたのは自分と当日の供述と異なること、つまり正反対に自分が被害者みたいなことを後日私がいない時の現場検証で主張し始めました。一応弁護士に依頼して一か月の通院ということで20万円程度の請求をしました。相手方損保は9対1で検討と言っていたので回答を待っていたところ8対2にしてくれといいます。
正直故意に体当たりされて死ぬ気分を味わった自分にしてみれば10対0で殺人未遂で起訴してほしいと思っていましたが証拠がなければ無理ということで9対1が渋々ながらも示談だから仕方がないと納得して受け入れる気がありましたが
8対2にしてくれと言われて僅差ではあるものの何で私がそこまで譲らなければいけないのかという想いと2万円くらいを削ろうとしてくる相手保険会社に心底腹がったのです。このうえは金額がどうではなく控訴や上告も含めて長期に争おうかと思っています。相手保険会社も望まない方向でしょうが弁護士保険で300万円まで補償されるのでいくとこまで争ってやろうと思うのですが300万で控訴や上告まで費用は持ちますか。またいろいろなアドバイスがあればお願いします。尚弁護士は示談を勧めますが上記の経緯から態度は硬化しています。

300万で控訴や上告まで費用は持ちますか。
→弁護士費用特約が使えるのであれば、上告までやっても手出しの費用はかからないように思います。

大変な事故・被害感情だと推察されるところですが、【幸い打撲だけで済み、一か月ほどの通院で治りました】とのことで、請求額が20万円ということであれば、弁護士費用特約の範囲内で解決できるという見込みでよいように思います。ただ、客観的証拠が十分ではないようなので、仮に裁判になった場合でも、裁判官・司法委員から和解を勧められることになるように思いますし、判決になった場合の適切な控訴理由・上告理由も見出しにくい展開になる可能性が高いように思われます。依頼している弁護士が示談を勧めるのも上記のような理由によるのかもしれません。