個人情報を晒された場合の対処法

元夫の再婚相手に、私の氏名と口座番号をネット上で晒されており困っております。

先日、元夫が婚姻中に不貞していたことが分かり、慰謝料請求をしました。
その際の通知書の内容すべてが、実名のままインターネット上に書き込みされていました。

プライバシー侵害などで、損害賠償請求はできますか?
出来る場合は、いくらくらい請求すればよいでしょうか?

ネット上に晒された内容に関しては、キャプチャーするなどして証拠化なさってください。

損害賠償請求はできるかと思いますが、相手方の反応からすると、
任意での話し合いは難しいでしょうし、回収可能性もよくご検討されるべきでしょう。詳細が確認できていませんので、ざっくりとした回答にはなりますが、慰謝料請求に追加する形で、50万円~100万円で請求をされてみてはいかがでしょうか?

ご回答いただきありがとうございます!
このネットの書き込み(内容は事実)について、会社の人間や友人に知られてしまい私自身の社会的評価が低下した場合は名誉棄損にも該当するでしょうか?

通常、社会的評価は低下しませんので名誉棄損にあたるとは考えられません。

プライバシー権の侵害と不貞行為による慰謝料の請求を行う形となるでしょう。
名誉毀損については実際の書面の内容や事実の記載の程度にもよりますが、仮に認められたとしても高額にはなりにくいかと思われます。