傷害罪として被疑者が在宅捜査を受けている中での状況把握に関して

先週、エレベーター内で突き飛ばされて相手方が現在被疑者としtw在宅事件として捜査が進んでいますが、被疑者の方はどのタイミングで捜査が行われていることを知るのでしょうか?また示談が来るとすればいつ頃になるのでしょうか?

「捜査が行われていることを知る」の趣旨がよくわかりませんが、
在宅事件であれば、捜査機関側から電話等で連絡が行きますのでそのタイミングでしょう。

示談に関しては、相手方が示談を希望するかどうかにもよりますので、必ず連絡がくるというわけではありません。また、在宅事件の場合ですと、半年以上たってから捜査が本格化することもざらではないので、長期間連絡がこない可能性もありえます。