賃貸マンションの値上げに対する管理会社への引越し費用負担交渉に関して(借主)

賃借人です。
現在住んでいる賃貸マンションの管理会社が変わり、2ヶ月ほど前に
「今年の6月から家賃を従前の倍の金額(約10万円→20万円)へ値上げする」
という通知が来ました。
契約更新などはなく、15年ほど住んでいて今まで一度も値上げはありませんでした。(築年数35年程)
近隣住宅の家賃相場等を調べても不正に感じる値上げ金額です。同意はしていません。

最初に受け取った値上げの通知書に、管理会社側からの提案として
「5月末までに退去するなら当社仲介物件に限り引越し費用を負担する」
とありました。

このまま住み続けるのも居心地が悪いので退去することに決めましたが、まだ管理会社に連絡していません。
その後の対応や物件情報の紹介など相手からの連絡は一切なく、こちらから問い合わせることで「条件を呑んだ」とみなされたくないためです。
また、紹介物件がこちらの条件に合わなかった場合、妥協して選ぶのも実費で引っ越すことになるのもどうしても納得できません。(そもそも通知が一方的すぎてもはや信用できないので他社で物件を探しました。)
なので「5月末までの退去」という部分のみ受け入れて、他社の物件にはなるけど引越し費用を負担してもらえないかの交渉をしたいのですが、果たして引越し費用を負担してもらえる可能性はあるのでしょうか。

特に、この辺りが気がかりです。
・実際に立ち退き要求はされていない(値上げ金額が異常なので実質立ち退きのように感じているだけ)
・家賃値上げを取り下げられた場合でも、住み続けるつもりはない

こちらの要求は
・予定外の引越しであるため、「大家都合の退去」として認めていただき、引越し費用を負担して欲しい
ということです。

引越し先の契約は完了しているので、費用を負担してもらえないとなると非常に困ります。。

どうかご教示いただけましたら幸いです。

相手は、けんかを売ってるようなものですね。
あなたの考えは正論と思います。しかし、
おそらく、当社仲介の物件ではないと言う理由で、費用は負担しない性格の
会社のように思いますね。

一方的な値上げの通知で契約条件が変更されることはありませんので、家賃値上げ拒絶の通知のみ行うべきであると考えます。
退去するかどうかは、その後の管理会社(賃貸人)の出方を見てからで良いのではないでしょうか。
相手方が本当に退去させたいというのであれば、引越し費用だけでなく、正当な立退料を払ってもらって出るべきでしょう。

自らの判断で退去をしてしまうと、大家に対して何らかの金銭的な請求(立ち退き料等)は法的にも要求できなくなる可能性が高いです。
管理会社に連絡をして、家賃の増額には応じないこと、どうしても退去させたいなら引っ越し費用以上のものを支払うことを要求すべきです。
もし、話がつかなければ、新しい方をキャンセルするか、大家に対する請求を諦めるかの二択となる可能性がでてきます。