里親募集サイトでの小動物引き渡しに関する問題について

2月上旬里親募集サイトで小動物を引き渡しました。家にいた時はご飯も食べ元気にしており、一度も病院に行ったことはありません。毛がボサボサだったので、それは事前に写真を送り了承を得ています。
引き渡した日にご飯を食べないと連絡が来て、ストレス(3県も離れた所の方だったようで、長距離移動となった。子どもが小動物を撫で回して、小動物が鳴いている動画が送られてきた)で食べないのではないか、一週間は触らずに落ち着かせてあげて欲しいと伝えました
不満そうなメッセージが来たので、ご不満のようでしたら、返して欲しいと伝えましたが私の元に戻す事は考えていないと言われました
返信しても返事もなくなり、もう関わる事はないのだろうとブロックしてしまいました
2ヶ月程経ってから里親募集サイトから連絡が来て、メッセージを返すようにとの事で、本人からも連絡が来て、病院に連れて行ったら貧血、子宮蓄膿症だったので手術をして10万かかった
引き取って間もないし、まだ通院しているので治療費を全額払えとの事でした
我が家にいた時は元気に食事もして、病院も連れて行った事ないのですが、本当に病気だったのかと不思議に思いましたが、病院の明細書が送られてきました(3月7日の領収書でした)
弁護士さんに相談すると、きちんと対応すべきだと仰ったそうです

私が治療費を負担する義務はあるのでしょうか?
また里親募集では譲渡契約書が必要だったようですが、譲渡契約書はサインしておりませんが必要でしょうか?

>2月上旬里親募集サイトで小動物を引き渡しました。
→ 譲渡契約書は未締結とのことですが、契約書を作成していなくとも契約は成立します。 既に小動物を里親希望の方に引き渡されていることに鑑みれば、無償で譲渡したのであれば(対価を受け取らずに譲渡したのであれば)、民法上の贈与契約(民法549条)が既に成立し、履行も終えているものと思われます。
 贈与契約が成立している以上、小動物の所有権も既に譲受人に移転しています。そのため、譲受人の所有になった小動物の治療費については、所有者である譲受人が負担するのが原則的な結論かと思われます。
 また、「贈与者は、贈与の目的である物又は権利を、贈与の目的として特定した時の状態で引き渡し、又は移転することを約したものと推定する。」(民法551条1項)とされており、今回のケースではこれと異なる合意等がなされていないこと、譲渡前は元気に食事もし、病院も連れて行ったことがなかったこと、引渡日(2月上旬)と治療費の領収書の日付(3/7)から一定期間離れていること等の事情に鑑みても、贈与者のあなた側が今回の治療費の負担を負う法的根拠があるのか疑義があるところです。
 なお、この種のトラブル防止の観点からは、今後は譲渡契約書等をしっかり締結しておくべきでしょう。

【参考】民法
(贈与)
第五百四十九条 贈与は、当事者の一方がある財産を無償で相手方に与える意思を表示し、相手方が受諾をすることによって、その効力を生ずる。
(書面によらない贈与の解除)
第五百五十条 書面によらない贈与は、各当事者が解除をすることができる。ただし、履行の終わった部分については、この限りでない。
(贈与者の引渡義務等)
第五百五十一条 贈与者は、贈与の目的である物又は権利を、贈与の目的として特定した時の状態で引き渡し、又は移転することを約したものと推定する。
2 負担付贈与については、贈与者は、その負担の限度において、売主と同じく担保の責任を負う。

お忙しい中ご回答ありがとうございます。
何か条件をつけることも全くしておりませんし、無償で譲ったのですが、ケージや飼育用品を無償で欲しいと言われ、無償でケージをお渡ししました。引き渡し当日にお礼?で1000円程のお菓子を頂きました。何度もお断りしましたが、貰って欲しいと言われたので頂きましたが、怖くて食べてもおらず捨ててもおらず手元にありますが、これを対価とされてしまう事もあるのでしょうか?小動物の代わりに何か下さいなどは一切言っておりません。
勉強不足で契約書を交わさず浅はかでした。今後何か契約をする際は気をつけたいと思います。