虚偽申告により調停申立てされました。今後調停の内容は公的な証拠になりうるかアドバイスをお願いします

先日元交際相手からストーカー行為について調停申立てをされました。

ストーカーの事実はなく、喧嘩の際に私が手を挙げられてしまい、怪我の賠償について話し合いをしていた最中相手が逆上しブロックされました。
相手方が警察に虚偽申告したため接近禁止を出されましたが、こちらに関しても不服申立てしたいと思っております。

もし調停でストーカーの事実は無いということを証明できた場合、これを元に警察に虚偽申告で相手を訴える事はできるのでしょうか?

どなたかご回答お願いします。

調停は、双方が話し合って合意を目指す手続であって、裁判のように事実の有無を裁判所が判断する手続ではありません。
ですから、調停では「事実がないことの証明」はできません。
ただ、話し合って何らかの合意ができれば、それをもとに警察の申告を取り下げるなどの方法をとることはありえます。

そうなんですね。ただ調停の内容って公文書として残りますよね?
矛盾した言い訳をしてきた場合、それを証拠にこちらも名誉毀損で訴えることは可能ですか?

「調停の内容」というのがどのようなことを想定されているのか分かりませんが、
調停手続で作成される書面は、通常、話し合った結果何らかの合意が成立した場合に、その合意内容を記載した書面(調停調書)です。
調停の話し合いをしている最中のやりとりは、文書には残りません。

調停の内容は、相手方は暴力はふるっていないので一切の責任は無いという話しでした。
なおストーカー行為について今後は関わってくるなという念押しも含まれておりました。

こちらの言い分は相手と真逆なのですが、もし私がそれを認めなかったら相手は裁判でもする気なのでしょうか?