親会社の監査役が子会社の取締役になれるか

親会社の監査役が子会社の取締役になれるのか。また、親会社、子会社ではなく、全く別の会社なら兼任は問題ないのでしょうか。
もし兼任していた場合、どうすればいいでしょうか。

1行目は、会社法335条2項によりできません。
2行目の別会社なら問題はないです。
現状兼任していた場合、すぐに兼任状態を解消するように辞任した方がよいですね。選任は無効にならないの、その間の任務について懈怠の責任原因にはなります。やってしまった場合、任務自体はクリーンにしているという証拠を確保しておく方がよいでしょう。

監査役は、(注:当該)会社の取締役・使用人または子会社の取締役・執行役・使用人・会計参与と兼任することができません(会社法335条2項)。

会社法上の子会社に該当しない会社であれば上記の兼任規制は及びません。

なお、この兼任規制に反して監査役が取締役を兼任していた場合には、基本はその選任自体は有効となり、監査も有効となりますが、当該監査役が損害賠償責任を負う可能性があります。
もっとも、親会社が親会社の監査役を子会社の取締役に選任した場合には、監査が無効になる可能性があります。

いずれにせよ兼任規制に反する兼任の場合には、監査役の辞任等を検討する対応がベターに思われます。