内容証明を弁護士に依頼したいです

内容証明を作成していただきたく弁護士の有料相談を受けましたが、うまくいきませんでした。セカンドオピニオンとして投稿します。

内容証明の宛先は、うちの隣でお店を開いている飲食店です。コロナ前までは適切な距離感で行ってましたが、材料費の高騰なども重なり赤字からかそのお店は無茶苦茶な宣伝をするようになりました。

•芸能人御用たち
•本場イタリアで修行経験あり

など嘘の看板を出されてから、初見さんのお客さんを取られてしまってます。

辞めさせたいのですが、嘘をついている証拠がないと内容証明は書けないようです。

先代の時から隣でお店を持ってますが、イタリアに行っていた話は聞いたことがありません。証拠がないと内容証明は書いてもらえないのでしょうか?

ご意向に沿わない回答となってしまい恐縮ですが、内容証明郵便自体に特段法的な効力はございません。
法的な観点からは内容証明郵便も通常の郵便も同じです。

あなたが内容証明郵便を送っても、自体が改善する見込みはほぼないばかりか、相手方からもトラブルの相手だと認識されてしまいかねないのでおすすめできません。
誇大広告だとすれば、消費者庁や国民生活センターの担当窓口にご相談をされてみてください。