浄化槽の蓋を壊された件について、ガス会社に全額費用負担を求めることは可能でしょうか?

一戸建て自宅の浄化槽の蓋を壊されました。
先月中旬に、ガス会社に口座振替の申し込み書類を届けてほしいと依頼しました。
その折、「ポストに入れておいてくれればいい」とお願いしましたが、届けに来たガス会社の方が知らせてくれようとしたらしく、わざわざフランス落としを掛けて閉じている門扉を開いて敷地内に入り、浄化槽の蓋(枠ごと)を壊されたようです。
きちんと名乗り出てくれ、また同日中に上司の方が見に来られたまでは良かったのですが、後日、工事業者を連れて見に来られた後、何の連絡も無く二週間が過ぎたので連絡したところ、工事の見積書を持って来て「これだけかかります」と見積書を出してきました。
これって私が払うべきなのでしょうか?
確かに浄化槽の蓋は野ざらしですし経年劣化はあるとは思いますが、お願いした以上のことを(親切心だとは思いますがありがた迷惑)勝手にされて壊されたのに、壊した側ではなく壊された側がお金を払うべきなのでしょうか?
全額をガス会社に払ってもらう(弁償してもらう…原状復帰してもらう)ことは出来ないものでしょうか?

損害賠償請求自体は可能かと思われます。
全額請求できるかという点は悩ましい部分です。
交渉次第の面もあろうかと思います。

ガス会社の従業員が壊したものであれば、こちらが負担する理由は基本的にないかと思われますので、費用負担をこちらに求めるようであれば、相手が負担すべきものではないかとしっかりと主張されて良いかと思われます。

なぜ壊れたのかにもよりますが、ガス会社の従業員が注意を怠ったことで損壊したのであれば、金額が争点となることはあり得ますが、損害賠償を求めることは可能と思われます。
偶発的な事件を補償対象とする弁護士費用保険への加入がある場合、今回の件で適用できる可能性があります。