慰謝料請求を行いたいです。どのような方法で行えますか。

数日前SNSで出会った人とカラオケに行きました。その際レイプされました。具体的には身動きが取れないほど押さえつけられて体を触さわられ生で挿入されました。抵抗している際に頭をぶつけることや声が出ないように顔にクッションを押し付けるなどでした。気が動転していたため直ぐにその場から出て数時間後に相手に連絡をとりレイプを認めて謝られました。録音もしてあります

録音の内容にもよりますが、同意なくそうした行為がされた場合、不法行為として損害賠償請求の対象となり得ます。
詳細について弁護士に相談されるといいです。

相手が認めているのであれば、不同意性交罪になる上、民事上でも慰謝料請求が可能でしょう。

ご自身で直接相手と連絡を取るというのは、被害に遭われた精神状態では難しい部分も多いかと思われますので、弁護士を窓口とした上で、刑事告訴、慰謝料請求等然るべき法的措置を取られる方が良いでしょう。

一度個別に弁護士に個別にご相談されると良いかと思われます。

絶対許してはならないひどいことです。慰謝料請求をすることは当然ですが、不同意性交罪で刑事告訴をすべきと考えます。
刑事告訴をして警察が犯人を処罰すべく動き始めたら、犯人の方から(刑事弁護の弁護士さんを通じて)示談してほしいという申し入れがあるはずです。犯人は刑務所に入るのが怖いからです。
ご検討ください。以上よろしくお願いします。

追記です。私は静岡在住の弁護士なので、もしよろしければお話を伺います。一度お電話かメールを頂ければご相談に応じますので、ご検討ください。