離婚、別居したいが応じてくれない

3ヶ月前に、婦人科検診の結果を聞きに行き、そこで性病が発覚しました。
すぐに私は治療し完治しております。

夫は未だに病院受診しに行きません。
一緒にいるのも苦しく、離婚別居を伝えましたが、意味がわからない。と話し合いにすらなりません。

なので1ヶ月とりあえず(マンスリー)勝手に別居手続きしました。

5年前に終電を逃し部下とラブホ利用は本人から聞きました。
肉体関係は無いと断言されています。
見てはいけませんが、夫の携帯に元々入っているの行動履歴GPSのホテルをスクショしております。
それぐらいか証拠がありませんし、今は浮気をしてる感じではありません。

子供が小さい頃から、朝帰りは度々ありました。

ただ性病移されて、シラを切られ、むしろ私を疑っており、悪気がないのが、凄く精神的にもう限界です。

話し合いにすらならない状況を打破し、離婚するならまず何から動いたらよいかご助言願います。

結婚20年目、子供は21歳と高校1年です。
夫名義持ち家ローンなしです。

離婚条件の試算ですね。
財産分与の試算が重要でしょう。
不動産、退職金、年金など。
離婚までの婚姻費用分担の申し立てをする必要もあるでしょう。
弁護士と打ち合わせたほうがよろしいと思います。

婚姻費用の分担請求調停を速やかに申立てされたほうがよろしいかと思います。

実務上は、請求日以前の費用については認められ難く、
マンスリー契約の場合、賃料は割高ですので、経済的な負担から、離婚に向けた行動を断念しなければならなくなるような事態を避けるためにもすぐお手続きされることをおすすめします。
裁判所HPをご参照ください。
https://www.courts.go.jp/saiban/syurui/syurui_kazi/kazi_07_03/index.html

離婚に向けてですが、相手方次第の面もありますが、上記ご相談概要からすると長丁場になると思われます。
婚姻期間が長く、未成年のお子様もいらっしゃるため検討すべき点は多いので、
まずご自身で集められる資料を揃え、相手方の現時点での意向を確認できれば確認をして、弁護士に相談をなさってみてください。
費用対効果の面で、弁護士に全て代理を依頼するのではなく、調停対応はご自身で行い、都度弁護士からアドバイスを受けるような選択肢もございます。