損害賠償は認められてしまうのでしょうか。

契約書には1ヶ月前の通知で退職できる旨が記載されています。

同じ業務委託で働く仲間とトラブルがあり、私の中で許せない内容だったことから、
一緒に仕事をしていくのは難しいということで退職の意向をお伝えしました。
退職の意向を伝えた時には「後任探しや後任への教育をして欲しいので
3ヶ月ほどください」と言われ、当初は「はい」と返事をしてしまいました。

その後グループLINE内であまりいい内容でない言葉を言われたり、
会社側の対応は伝えてもらえないのに、
新規の仕事依頼(引き継ぎが大変そうなもの)をされたり
よく分からない指示をされたりと、
自分の実際の業務とは別にほとんど時間外で対応をしておりました。
※当初の業務は滞りなく、遂行しております。

信用を失い、数日後「契約書通り、1ヶ月後に退職したい」と伝えたところ、
3ヶ月半くらい先の月末までがあなたの契約期間です、契約書を見てください。
当初と内容が違うので、それに伴い、こちらが動いた分損害請求します。
業務を受けているなら返信をするべきです。
などと何度も同じことを言われて、どうしたらいいか分からず
信用も失って、心身ともに疲れ夜も眠りに着けず、
他の仕事にも影響が出ており、どうしたらいいか分からないです。

私も一度合意をしてしまっているので、何も反論出来ないのか
今も毎日同じような内容が送られ疲れ切っています。

私は契約書通り、辞めてもいいのでしょうか?
後任探しはそんなに時間と労力がかかるのでしょうか?
退職する人間の対応に割いた時間は請求されてしまうのでしょうか?

教えてください。よろしくお願いします。

実際にどのような内容の契約書だったのか、その後の会社側の対応、こちらの対応がどうだったのか等の具体的な事情次第ですが、一般的には退職したことによる損害賠償は認められないケースの方が多いでしょう。

契約書等をご持参の上、個別に弁護士にご相談されると良いでしょう。