相手方との離婚手続きを進めるために、相手の要求通りに離婚届を代理で出しても問題はないでしょうか?

旦那との離婚が進みません。
相手方8月家出ー9月帰宅したがすぐ家出ー離婚するなら法的にしてくれと言われる
10月末LINEで『迷惑だろうから離婚届は勝手に出してください』と連絡あり。
その後連絡はとれません。
誰とも連絡途絶えている。
相手は無職で、私もお金を貸していますが
返済より先に離婚したいです。

離婚届出してください。と言われたので、代理で記入し、提出しても良いですか?
本来ならダメであっても、相手が訴えなければ特に問題はないでしょうか?

その状況なら、離婚届け出していいですよ。
本人の承諾がありますから。
訴えて来ることはなく、来ても勝てるでしょう。

バレるかどうかは別として、相手方の署名をしてしまうと、文書偽造罪が成立するためすべきではないでしょう。
相手方が署名して置いていった離婚届を提出すること自体は、相手方が出して下さいと言っているのであれば、可能でしょうが。

例外的に戸籍法施行規則62条で、以下のように氏名の代書ができる場合が定められていますが、相談者様のケースでは、認められるかどうかは微妙かと思います。

① 届出人、申請人その他の者が、署名すべき場合に、署名することができないと市町村長において認めるときは、氏名を代書させるだけで足りる。
② 前項の場合には、書面にその事由を記載しなければならない。

「10月末LINEで『迷惑だろうから離婚届は勝手に出してください』」というメッセージを証拠にして、夫の離婚の意思・代筆の同意が読み取れるという説明をして離婚届を出してみることも考えられます。最終的には、受理する役所の判断もあると思います。

市役所で協議離婚の場合、相手が字が書けない理由などでないと代筆は認められないとのことでした。
訴訟で離婚するしかないのでしょうか?

代筆の離婚届を受理しろと市と争うのは時間と費用の無駄になるでしょうから、相手方と連絡が取れない状況が続くのであれば、訴訟で離婚すべきでしょう。
訴状等の送達が公示送達の方法になる可能性が高いと思いますので、弁護士に相談頂いたほうが良いかと考えます。