大学の授業料は払ってもらえますか?

10年程前に調停離婚しています。
子供が大学進学の際には養育費は22歳まで払ってもらえることになっています。
弁護士さんに聞きに行くと、授業料も払ってもらえる可能性が高いと言われました。
また、調べてみると大学進学の承諾を得ていれば払ってもらえることが多いとも読みました。
しかし、「授業料まで払う義務はない、子供が成人しているし、お前(私)からは請求もできない。」と言って、相手は払わないと言っています。
相手が言っているように、私から調停を申し立てすることはできないのでしょうか?
また、調停をして審判になった場合、払ってもらえるでしょうか?

ご質問者様から調停の申し立てをすることはできます。
審判になった場合、相手方が任意に払うこともあります。
相手方が任意に払わない場合は、相手方の給与や預金口座等に強制執行します。

ありがとうございます。
そうですよね。娘が20歳なので、
「調停をするのであれば娘が調停申し立てしないといけない。
したところで、払う義務もない。」
と言っていましたが、相手の勘違いでしょうか。