不倫相手の配偶者が慰謝料支払い後も個人情報を調査している場合、訴えることは可能か?

不倫をしてしまい、相手の配偶者と話し合って慰謝料を支払うことで解決しました。その際に支払えばこちらには何もしないという約束もしました。しかし支払った後もこちらの個人情報等を調べているようです。「どん底に落とすから調べてもらっている」と言ったLINEトークも見ました。この場合、相手を訴えることはできますか?

相手とその配偶者は既に離婚が決まっていて、今後こちらが関係を続けようが構わないと言っています。

合法的手段で調べる分にはそれ自体は法律的には問題ないので止めることはできません。したがって現時点で訴えるというのは残念ですが難しいでしょう。
ただし、相手が不倫の事実を他人に言いふらしたりSNSで拡散したりして実害が出る場合は名誉毀損罪や侮辱罪で告訴できる可能性があります。

貴方(A)と不貞被害配偶者(B)との間の示談に関し、示談書等でどのような約束をしたか確認する必要もありますが、清算条項を交わしているのであれば、今後、Bが(法令に基づく調査等をするのは許されるとしても)Aに対して何かしてくるというのは通常は考えにくいと思われます。
また、示談の際に、ABが相互に接触したり、誹謗中傷等しないといった約束をしたのであれば、それにBが違反すれば、Bに不法行為が成立し得ると考えられます。仮にそのような約束をしていない場合でも、「どん底に落とす」というのは穏やかではなく、Bが貴方のプライバシーや名誉を侵害するようなことがあれば、Bに対する責任追及が可能となるでしょう。