構築の努力をする意向を答弁書に記載することは可能でしょうか？
離婚調停を起こされて、自分は離婚したくない場合、答弁書に「調停の中で話し合って、自分の課題を見つけて、構築の努力をする」みたいなことを書いてもいいものですか？
もちろん、書いてもよいです。
ただ、申立人側が貴方の考え・要望に応じず、課題発見や関係再構築の努力をしようとしないということはあり得ます。調停というのはあくまで話し合いの場であることから、その点はやむを得ないところです。
書くことに何も問題はありません。ただ、記載したとしても効果がない場合が多いかと思われます。相手方がこちらに対して反省や改善を求めているのであればそのような記載も意味は出てくるかと思われます。
答弁書を書いて送ったら、調停より前に相手に送られるのですか？
それとも調停の時に渡されるのですか？
裁判所・調停委員会の判断にもよります。
調停より前に申立人に読んでおいてほしいのであれば、裁判所に１部、申立人に１部直送するとよいでしょう。
逆に、事前にではなく調停の場で初めて読んでほしいのであれば、調停期日に２部持参すればよいと思います。裁判所に事前提出を要請されているのであれば、裁判所に２部送付した上で、申立人には期日当日に渡してほしいという要望を伝えておくとよいでしょう（そのとおりにしてくれるかは、裁判所・調停委員会の判断にもよりますが）。