この場合名誉毀損でしょうか。

私の親が雇われママとしてスナックをしており
そこで働いていた37歳の女性とオーナーが
私の親が邪魔になったからだと思うのですが
いきなり解雇しました。
私も自分の親だからと思い、
お店を手伝っていました。
37歳の女性とたまに出勤を被ったり
していたのですが
深く関わることなく
あくまで仕事上の付き合いでした。
ですが、全く私達と付き合いのない
他のお店のママさんに
私と私の親に酷いことをされたと
言いふらしています。
聞いたお客さんはそんな事しない人達だから
鵜呑みにするなと言ってくれていたみたいですが。
私はその女性と深く関わりもありません。
ここ最近だと1ヶ月以上仕事被ってません。
働いている時に酷いことをした事もありません。
周りに言いふらされ
私も精神的に参ってしまい
うつ病と診断され
生活に支障がでています。
この場合、名誉毀損でしょうか。

名誉毀損となり得るかと思われますが、その女性が周囲にそうした嘘を言って回っていることの証拠がないと立証が難しくなってきてしまうでしょう。

証拠となるのはどんな事でしょうか?

本人の自白についての録音やLINE等での客観的な証拠が1番有効ですが、それがない場合は、話を聞いた人の証言が証拠となり得るでしょう。