自転車事故でも健康保険証は使えますか?示談のタイミングとその金額は?

2日前 母(83)が神社で歩行者(56)に自転車でぶつかってしまった。母の前方不注意で100%悪い状態です。相手方はケガをしたため救急車で病院へいきました。警察も呼びました。

診断書によると
 右手関節打撲傷、臀部打撲傷 2週間の加療
 後頭部挫傷、擦過傷 1週間療養
薬は痛み止めとしっぷを出され、また痛みや気になる事がある様ならば病院へ来るように言われたようです

被害者の方は2日間病院へ行っています。診察代は保険を使っていません自費で払っています
今までの 診察代62440円  診断書代3300円
母は当時夕方にその日の診察代とお見舞い(果物)を持って先方に、出向いてます
母は自転車保険などの物は何も入っていません

自転車での事故は健康保険証は使えないのでしょうか?

しばらくしたら示談という形を、取りたいと思っていますが、いつ頃被害者の方にお伝えして示談金はいくらぐらいお渡ししたらいいでしょうか?

交通事故(自転車事故を含みます)であっても健康保険を使うことは可能です。

もっとも、事故の場面において健康保険を使うためには被害者側において一定の手続き(届出)が必要になり、直ちに健康保険が使えるわけではありません。
また、健康保険を使うのかどうかは被害者側の自由です。
なお、被害者側が通勤中であった場合には労災保険を使うことになりますので健康保険は使えません。

被害者に対する謝罪は何度伝えても通常は損はありません。お母様の方で適宜被害者に対して治療状況を確認していただき、治療が終わった段階で治療費の総額と必要に応じて病院までの交通費の支払いが必要です。
また通常は、一定の慰謝料を加えて示談を行います。
示談の際は、後の追加請求を排除するためにきちんとした内容の示談書を作成して取り交わしをしておくべきです。
示談交渉の対応や示談書の作成にご不安がある場合は、対応を弁護士に依頼してください。
無事に解決することを祈っております。

お母様と同居の方の加入している保険、お母様がお住まいの自宅(持ち家、賃貸問わず)の火災保険の特約を確認してみて下さい。
 日常生活中に他人に怪我をさせてしまった場合に保険から支払をしてもらえる個人賠償責任保険が付いている可能性があります。自転車での事故にも適用がある場合があります(積極的に加入していなくとも、加入している保険に付帯している場合がありますので)。