金銭トラブルの友人から弁護士の名前を聞かれたが教えないほうが良いでしょうか。

友人と金銭トラブルでもめており、私から直接話し合いはしませんので弁護士を介して連絡してください。と相手にお伝えしました。
相手も弁護士に相談すると言っており、相手の弁護士から連絡がくるであろうと思っていたのですが、
相手から「直接連絡されるのは嫌だろうから弁護士事務所と先生の名前教えてもらえる?これからはそっちに連絡するから」と言われました。
以前相談しただけでまだ正式に弁護士さんに依頼をしたわけではないのですが、その場合は弁護士さんの名前は出さない方がよろしいでしょうか?
おそらく相手は自分の電話番号を知っているはずですが、相手の弁護士から連絡するように言ったほうが良いでしょうか?
ちなみに相手が本当に弁護士に相談しているかは怪しいです。

拙い文章で申し訳ありませんがよろしくお願いいたします。

以前相談しただけでまだ正式に弁護士さんに依頼をしたわけではないのですが、その場合は弁護士さんの名前は出さない方がよろしいでしょうか?
>>当然です。依頼を受けていない件について電話等で相手方から連絡があっても弁護士としては対応のしようがありません。

おそらく相手は自分の電話番号を知っているはずですが、相手の弁護士から連絡するように言ったほうが良いでしょうか?
>>なんとも言えません。弁護士を依頼する義務はどちらにもありません。弁護士が関与していないのであれば当事者間で話し合いや裁判をしていただくしかありません。

>以前相談しただけでまだ正式に弁護士さんに依頼をしたわけではないのですが、その場合は弁護士さんの名前は出さない方がよろしいでしょうか?
そうですね。相談を受けた弁護士もまだ依頼が来ていないのに、連絡が来ては困るでしょう。正式な受任があった後が良いと考えます。
>おそらく相手は自分の電話番号を知っているはずですが、相手の弁護士から連絡するように言ったほうが良いでしょうか?
弁護士を依頼するしないは当事者の自由ですので、相手が確実に弁護士の依頼をしているとわからないのであれば、基本的には当事者間で済ませた方が良いでしょう。
相手が本当に弁護士を付けていれば、いずれ受任通知というものが来ます。