自筆証書遺言の遺言執行者の選任について

お世話になります。
自筆証書遺言を残すにあたり、遺言執行者を定めておきたいのですが、親族ではなく、司法書士や弁護士等の先生にお願いしたい場合は、どのようにしたら良いでしょうか?
契約とかが必要になりますか?その場合は、契約料を払い続けることになりますか?

また、亡くなった際に、法務局に預けた自筆証書遺言の存在を親族がなかったものにされる可能性があります。
法務局に預けている事実を明確にし、遺言執行人にとなる専門家に動いてもらうためには、どのようにしたらよいか、ご教示ください。
よろしくお願いいたします。

事前に内諾を得て、遺言書に、遺言執行者の記載と報酬額を決めて
記載しておきます。
契約の必要はなく、事前の費用も不要です。
遺言書作成段階から、遺言書が放置されないように、遺言執行予定
者と打合せをしておく必要があるでしょう。

遺言書保管制度を利用するのでしたら、遺言書の存在を無かったものとされることはありません。
弁護士が遺言執行者となった場合、遺言執行の段階で、遺言執行の対価として、報酬等をもらうことが多いと思います。遺言書を弁護士が保管する場合もありますが、その場合、保管料を定める場合もありうるでしょう。ただし、何十年先に予想される相続に備えた遺言書の場合、遺言書紛失のリスクを考え、同じものをいくつか作成して、遺言執行者、遺言者、受遺者にそれぞれ保管させるなどした方がいいと思います。

・遺言執行者を専門家に依頼するには
⇒事前に遺言執行者に就任することを依頼する専門家に了解を取っておけば足ります。(その方に公正証書遺言の作成も依頼してしまうという方法もあります)
事前に了解を取るだけであれば、契約は不要ですし、契約料を払う必要もありません。
遺言執行者に就任し、遺言執行が完了したときの報酬だけ、弁護士費用としてかかります。

・亡くなった際に、法務局に預けた自筆証書遺言の存在を親族がなかったものにされる可能性
⇒自筆の遺言書を法務局に保管した場合、死亡後、法務局に遺言書の有無を照会することになりますので、「法務局に預けた自筆証書遺言の存在を親族がなかったもの」にすることはできません。
存在をなかったものにするというよりも、遺言の効力を争う(遺言は無効だ)と主張する場合がありえますが、その予防方法は、遺言者と面談してみないと判断が難しいです。