アルバイトを辞める際に法的に問題があるのか
アルバイトにてシフトが一月入っていない間に辞める旨を伝え、連絡手段を断つことで何か法に触れる可能性はありますか？
契約内容によります。
期間の定めがない場合は、意思表示から２週間で退職が成立するので何ら問題ありません。
期間の定めがない場合には、期間満了までは（合意がなければ）退職できないので、債務不履行による損害賠償義務が発生する可能性があります。
そもそもなぜ相談のような辞め方をしたいのでしょうか。
勤務先に著しい問題がある場合であればそれを理由に解除（退職）をできる余地があるので個別の法律相談に行ってみましょう。