退職するにあたって事業主からの金銭請求

現在退職手続き中の者です。
うつ病になり、休職を考えましたが
1ヶ月の休職は難しいと言われた為、
退職することになりました。

今現在退職届を提出し、退職証明書を受け取ったところになります。
そこで上司の方から連絡があり、私物の処理の費用やそれに関わる費用を請求しますと言われました。
職場にはほぼ私物が無いのですが、あったとしても仕事で使ったノートやメモなどで制服も貸与のものなので返却します。
なのでこの私物の処理、それに関わる費用が分かりません。

また、私の他に同じ時期に辞める方が居るのですが、その方は退職手続きをやる職員が1人しかおらずその人の精神的苦痛を考慮して請求します。と言われたみたいです。
これは払わなければならないものなのでしょうか?

支払義務はありません。
退職手続をやる従業員の負担や人手が足りないというのはは何の理由にもなりません。