母が祖母から借りたお金の返済を求められました。書面を交わしてから返済をスタートするべきでしょうか。

祖母との金銭トラブルについてご相談です。
30歳独身、両親と母方の祖母の4人暮らしをしています。父は私が返済を迫られたことは未把握で、入学金の話について認知しているかも不明です。
今年4月6日(木)に仕事から帰宅し夕飯を食べていた所、関係が悪化している祖母から、急に専門学校の入学金53万円を返済して欲しいと言われました。
しかし、実際にお金を借りたのは私ではなく母です。母への返済を求める前に、私に返済しろと言うのは理不尽ではないかと感じています。

関係悪化の経緯は以下です。
祖母とは4〜5年前に口論となり、必要な事以外はほぼ口を利いていません。
この口論が決定打となっただけで、これまでの約25年間ほぼ毎日(少なくても1回/2日の頻度で)下記の出来事が積もり積もっており、いつか来る日が来ただけに他ならないとも考えています。
参考までに多かった例を記載します。

「これ食べて片付けてよ。私はもうお腹いっぱいだから要らない。」
→自分で作ったり、勝手に購入した物でも、自身が満足した後は殆ど食べない。私達は残飯処理のような役割。

「私は冷えたお風呂に入りたくないから先に入ってよ。」
→私は帰宅後1時間(食事30分入浴30分)で何の予定もなく就寝する人間ではありません。食後すぐの入浴という健康リスクを負うつもりもありません。
それにも関わらず、「どんどん(私がお風呂に)入る時間が遅くなる」「洗面所を温めれば(体温も下がらないし、私はダメだけど貴方達なら)大丈夫でしょ」と言われる。

アレルギーや食べられないと何年も言っているのに、
「せっかく買って来たのに。」
「前食べてたじゃない。美味しいから食べてみなよ。」
「そうだっけ?そんなの覚えてないよ。」
→食べない、食べられないと言っても強要する。

上記のように意に解さないで、常に自分ファースト、見返りを求めたり、相手に何かを強要したりする態度が多い人です。
何かを言っても最終的に「もう歳だから仕方ないでしょ。」と笑って開き直る始末。
相手が嫌な気持ちをしているから伝えているにも関わらず全く理解しようとしない、話も適当に聞いています。
こういった事で定期的に軽度〜中度の口論が続き、4〜5年前の口論がきっかけで現在の問題につながるほどの険悪状態となりました。

前置きが長くなりましたが、借りたお金は返すものと思っていますので私自身は返済自体に不満はありません。
ただ、当時は専門学生であり本件は把握しておらず、また、入学金は養育費にあたるのでは?とも思われました。借りたのは母のため当時のやりとりとして①贈与または貸与どちらなのか、②正確な金額、③父は把握している事柄なのかも知りませんので、理不尽とは感じてしまいます。
特に②金額については、祖母は自身のメモと記憶から当初130万円と主張し、その後に母が「そんなに借りていない」と指摘したところいい加減なメモであったこと・記憶違いが判明し、結果的に53万円となりました。つまり祖母も母も証拠がなく、入学金の全てなのか一部なのかも不明の状況です。

あわせて、経緯にも2点から納得できかねています。
借りた張本人の母には「お金のこと、ごめんね」と言われ、このまま私1人が返済する流れにされていますが、養育費に該当する場合、父へ伝えることもなく母の一存で私1人が負うべきものでしょうか。
2点目に、借主ではなく私に話を持ち出した祖母にも納得できません。約10年経過している中で1円も返していないなら、まずは祖母と母が話し合うものと思うのですが、この私の考え方はおかしいのでしょうか。

4月6日に迫られ、突然のことだったので「今すぐの一括返済はできないこと・月1万円ずつの返済」で仮合意をし場を収めた状況ですが、時間の経過とともに疑問しか浮かびませんでした。
再び今回のように私が把握していない件で、感情と曖昧な記憶に任せた祖母から「いつまでに返済できるのか」と迫られる可能性もあると思うと不安しかありません。

今後のためにも
・私のこの考え・感情は間違っているのか
・この件は法的に問題はないのか、あるならどのような問題で流れはどうなるのか
・返済の際には記録の残る銀行振込を前提に書面を用意した方が安心材料になるのですが、やっても良いことなのか(書面は公正証書も視野に入れて検討しています)
・なるべく穏便に済ませたいところですが、書面を締結する際に揉めた場合の解決方法について
・父は本件のことを知らない(おそらく入学金を借りたことも知らない)状況ですので、話した上で進めた方が良いのか
など、ご意見をお聞かせいただけますでしょうか。

よろしくお願いいたします。

金銭トラブルでの相談者の感情は間違っていないと思われます。母親が借りたお金なので、返すべきは母親です。相談者には返済義務がありません。金額や贈与かどうかの問題は、母親と祖母の間で解決すべきです。

祖母を説得する必要はなく、法的手続きがあった場合に対応すれば良いです。返済を断固拒否しましょう。