クレジットカードの不正利用された。相手のメールアドレスはわかっているがどうすれは請求できますか?

2月19日にクレジットカードの不正利用され、3月になってクレジットカード会社の方からの連絡で気づきました。
Appleのストアで何かを買ったらしいのですが、私はAndroidのスマホを使っているため、Appleとは無縁です。
私のクレジットカードで決済を行った方のメールアドレスはわかっているのですが名前は偽名かもしれないため、どう請求するか悩んでいます。
クレジットカードの請求がきてはいますが、すぐ支払える額では無いためまだ支払えてません。
どうすれば、相手に請求でき、この件が解決できるでしょうか?

相手の方にこの件について話をしたところ、12000円を私が相手に支払ったら、請求分出すと意味のわからないことを言ってきました。
クレジットカード会社のサポートの方に不正利用されて商品も手元にない、と伝えたのですが、結局私に支払い義務があるからと支払いの催促メールが届くばかりで取り合っては貰えませんでした。

不正利用が検知されているならばカード会社から支払わなくて良いとされていませんか?
一度約款なども確認してみた方がよいでしょう。

確認して、サポートの方に問い合わせましたが、支払いの催促のメールばかりが届くばかりでろくに取り合って貰えませんでした。
やはり、私が支払わないといけないのでしょうか?