求償請求の手続きについて

不貞の慰謝料を払ったため求償請求を考えていますが
相手には内容証明郵便を送ったほうがよいのでしょうか。おそらく話し合いに応じることはないと思うので調停してすぐに訴訟も考えています。
費用倒れニなりそうなので自分でやるのも仕方ないかなと思っています。
その場合請求額は証明できる分しかできないでしょうか。慰謝料を現金で渡した部分もあるためそれについては証明は難しいと思ってます。また慰謝料を払ったという公正証書や調書がないと裁判所ではそもそも提起することはできないものでしょうか。

訴訟を提起することは可能ですが、請求を認めてもらうには、相手が認めなかった部分について、こちらで立証する必要があります。立証の方法としては、領収書や銀行振込の証拠(控えや通帳)、受け取った人の証言などが考えられますが、それぞれ強弱があります。また、双方の主張の中間のどこかで和解することもあります。

早速の回答ありがとうございます。
再度の質問申し訳ありませんが。現金で渡した分については私自身の口座から引き落としたことしか証明できそうにありません。その場合通帳でのやりとりの残っている分の負担割合だけを請求することは可能ですか。

はっきりしている(証明できる)分だけを請求することも可能です。その場合、請求額を超える判決や和解にはならない点に注意が必要です。