裁判に使う証拠品のインターネットサイトについての質問です。

スマホアプリのスマホ画面上の動作内容を保存できる録画アプリを使って
インターネットサイトのサイトの言葉をGoogle等のサイトで検索して
そのインターネットサイトに行き着き、内容を録画出来る様に操作をします。

その様子を録画した動画は証拠として認められますでしょうか?

証拠価値の問題はさておき、動画自体は、証拠として認められます。
ただし、証拠の出し方にはルールがあり、きちんと出さないと裁判官に読んでもらえないので、弁護士あるいは裁判所の職員の指示にしっかり従うようにしてください。