犯罪が成り立つのはどの時点か

もしSNS上に殺害予告といった書き込みが
なされた場合脅迫罪として成立するのは
対象とされた人が認知した時点なのでしょうか?

基本的にそうです。ただ、場合によっては威力業務妨害罪や強要未遂罪などの他の罪が成立することもありますが。