どーしたらいいですか?

彼が子供がほしいと両親も紹介してもらい、8月まで側にいたのに、逃げられ音信不通のまま、出産をして、彼へ養育費を請求したいです。

なるべくお早目に弁護士に直接ご相談下さい。
通常は彼に認知調停を申立して、認知がうまくなされれば養育費請求という流れですが、いろいろ細かい話を伺わないとうまくいきそうか分かりません。

当然可能です。
彼の両親に対しても、あなたの決断を伝えるといいでしょう。
まずは、無事に出産できるように、あなたの家族の協力を得て、心と
身体の安定を心がけることでしょう。