こういう場合でも裁判って起こり得るのでしょうか。

先週、務めていた保育園に給与のことで電話をしたのですが主任から担任の仕事が終わってないのでしてくださいと言われた上に提出しないと裁判になると言われています。園側は給与を支払っているので・・・と。こういう事で裁判って有り得るのでしょうか?書類は他に見ていた保育者もいるので出来るとはおもいます。
また、園を辞めた理由は園長からのパワハラを受けていました。現在の仕事が忙しくずっと電話ができない時に、家にまで家宅捜索が入るところと言われました。
裁判になることや仕事はやった方が良いのかを相談したいです。

裁判があり得るかあり得ないかでいえば、あり得ます。
しかし、相談者様が引継ぎをしなかったせいで保育園に損害が生じたという主張が認められる可能性は非常に低いです。
訴訟リスクはほとんどありません。
また、家宅捜索が入ることなどはあり得ません。
園側は相談者様を脅して従わせようとしているだけです。
給与の問題のことも含め、市役所や弁護士会の無料法律相談を利用するのがよいと思います。

市役所に相談する場合は、どこの課に相談したら良いでしょうか。

福岡市内であれば、以下の区役所等で無料法律相談が行われていますので、総合案内窓口等でご確認ください。
また、その他の市町村でも、同様の無料法律相談は可能だと思います。
https://www.city.fukuoka.lg.jp/soudan/horitsushohi.html#01