役場の対応に傷つきました。精神的苦痛で訴えることはできますか。

9月1日に死産届を提出しました。
また、子育ての担当課にもその旨を伝え提出書類等がないことも確認しています。

しかし、12月8日に妊娠中の体調確認の電話連絡が役場からありました。(この電話は録音しています。)

死産の悲しみが癒えず、辛い気持ちで日々過ごしている中での役場からの連絡にとても傷つきました。

精神的苦痛で、訴えることはできますか。

電話の内容が分かりませんので何とも言えませんが、訴えるだけであれば可能かと思います。請求が認められるかどうかは別問題ですが。
一度弁護士に直接相談に行き、詳細を説明された方がよろしいかと思います。