二十歳以降の養育費について

子どもが二十歳になり、公正証書の記載通り養育費の支払いが終了かと思ったのですが、大学に通っているようで卒業まで支払って欲しいと連絡がありました。元妻は高卒、私は私大卒だから卒業までの学費を払う義務があると。
拒否したところ、調停になりそうです。これは支払うことになるのでしょうか。

公正証書による支払義務は終了しているものと思われるます。

養育費の調停の場合、合意が成立しなければ、審判になります。審判では、あなた側と相手方の収入資料、大学の学費の資料などの提出を基に判断がなされるかと思います。20歳を超えた期間の養育費については、20歳までの期間と異なり、養育費は認められ難くなる傾向が見られますが、養育費の支払義務が課されるケースも見られるため、あなた側としては、しっかりと反論書面を提出しておきたいところです。

一度、公正証書や収入関係資料などを持参の上、弁護士に直接相談してみてもよい事案かと思います(場合によっては代理人になってもらう方法もあります)。

基本的には義務が認められることはありませんが、特別費用として認められることがある場合もあります。
状況次第ですが、弁護士に相談してもいい内容かと思います。