引っ越し費用を請求したい。

男の子3児の父です。子供は3人とも未就学児です。
近隣トラブルで悩んでいます。
2021年8月に今の家に引っ越してきました。マンションの3階です。間取りは3LDKです。
住んで半年後くらいに、下の階から騒音のクレームがきました。対策として防音マットを敷き、子供には暴れないようにさせています。
それからも数ヶ月おきにクレームがきます。

そしてつい先日、児童相談所が家庭訪問をしに来ました。誰かが通報したそうです。誰かはわかりません。
通報内容は子供の泣き声と母親が叱る声がするとのことでした。確かに叱ることはありますが、虐待に値することはしていません。
今度またいつ通報されるのかと思うと気が滅入ります。

毎日とても窮屈な生活をしているのですが、これは子育て世帯が負わなければならない使命なのか甚だ疑問です。

物音がするのはもはや子供のせいではなく、通常の生活音ではないと思います。うちも壁から物音がします。もちろんそれは気にしていません。
子供の泣き声を皆無にすることは不可能ですし、こちらも泣き止むように、泣かないように努力してます。

管理会社や管理人は特に力になってくれません。

生活が窮屈なので、引っ越しをしようと思うのですが、
引っ越ししてまだ間もないので、引っ越し費用はありません。
正直、全額実費で引っ越しするのは悔しいので管理会社や近隣に請求したいのですが、可能でしょうか?

残念ですが、管理会社や近隣への請求が認められることはないと思われます。
子育てをするのは大変ですよね。
周りも本当に虐待があったらかわいそう、というおせっかいを焼いていることになります。
小さな親切大きなお世話かもしれませんね。

正直、全額実費で引っ越しするのは悔しいので管理会社や近隣に請求したいのですが、可能でしょうか?

難しいですね。
通常の生活音なら問題ありませんし、気にしないことです。