プライバシー侵害やモラハラに当てはまりますか？
彼氏に浮気され現在も浮気相手とsns等で連絡をとっている可能性があるため画面共有で連絡をとっていないか確認したいと言ったところ画面共有は犯罪行為だと言われました。この場合の画面共有などを求める行動はプライバシー侵害等の犯罪行為になり得て訴えられる事はありますか？
また浮気を責められすぎて心がしんどい、これはモラハラだと交際相手が言い出したのですが、浮気した側にモラハラで訴えられる状況になりうるのでしょうか？不利になる事はありますか？
ただの逆ギレでモラハラではないでしょう。
完全な責任転嫁ではないでしょうか。
あとはそういう人と継続した関係を持ちたいかどうかでしょうね。
補足ですが、画面共有も同意を取ろうとしていますので犯罪ではありません。
同意があるならばプライバシー侵害にもあたりません。
同意なく行った場合は問題が起きる可能性があります。
万が一此方のモラハラだとなった場合、浮気した側が此方を訴え浮気された側が不利になる事はあり得ますか？
あなたにされたと言っていることが具体的にどういうことかによるでしょう。
一般的にモラルハラスメントで訴えを提起するのはハードルが高いと思われます。
あなたが過激なことを言っていない限りは問題は大きくはないでしょう。
逆に相手方に対して慰謝料請求することも基本的にはできません。
婚約者であるならば可能です。
此方が浮気の件で心を壊し仕事などもできなくなって浮気が原因の鬱だと病院などで判断された場合、精神的苦痛を与えられたと慰謝料請求は可能ですか？
浮気による鬱で仕事ができなくなるという点まで、因果関係を証明できるのであれば請求できるかもしれませんが、ハードルは極めて高いと思います。
ご自身の状況がわからないので、具体的な回答は難しいです。
詳しく知りたいということであれば、法テラスかお近くの法律事務所で相談するといいでしょう。