交通事故で全損した自転車の弁償

自転車と車の接触事故(示談交渉)についてお伺いいたします。
こちらが自転車で走行中、車と接触し、1ヶ月ほどのケガを負いました。通院期間25日、回数は4回で、通院は終了しています。
自転車は全損し(10年前購入)通勤等生活に不可欠なため、機能的に同じような物を新しく購入しました。
先日、相手側の保険会社から、示談内容を提示されましたが、通院慰謝料について、自賠責基準の金額なので、納得できずにいます。過失割合は、相手10:私0です。
せめて、自転車の購入費用を上回って欲しかったのですが…。

事故の相手からは、事故数日後に留守電にメッセージが残っていたり、アポなしで事故車で自宅に訪問されたり(事故直後のケガで歩けず、対応はしていない)等、不愉快な思いもしています。留守電メッセージ、訪問時の置き手紙等残してありますが、どちらにも謝罪の言葉はありません。

このような場合、せめて相手に直接、自転車の代金の弁償を請求することはできないでしょうか?

自転車の10年間前購入という事情からすると、新たな自転車の購入代全額の賠償は難しい可能性があります。

しかしながら、慰謝料については、通院期間25日の全期間が賠償対象と認定される場合、いわゆる裁判基準によれば、16万円程度の金額となるため、あなたとしては、増額を目指したいところかと思います。

増額のための方法として、弁護士費用特約の確認、あっせん手続きの利用が考えられます。

【弁護士費用特約の確認漏れはございませんか】
①まずは,被害に遭われた方ご本人もしくはご本人のご家族(同居,別居を問いません)が加入している自動車の任意保険に弁護士特約がついているか否かをご確認ください。自転車としての事故の場合にも弁護士費用特約の適用がある場合があります。
②自動車の任意保険以外の保険(自宅の火災保険、損害保険,傷害保険など)にも弁護士費用特約がついていて,自転車としての事故の場合に適用されるケースもあります。
→ 今回の自転車事故に弁護士費用特約の適用があれば、弁護士に依頼して慰謝料の増額交渉をしてもらうことが可能です。ですので、まずは、弁護士費用特約の適用の有無を確認してみて下さい。

【弁護士費用特約の適用がない場合】
お住まいの地域の①日弁連交通事故相談センターのあっせん又は②交通事故紛争処理センターのあっせんを申請し、慰謝料の増額を目指す方法もあります。
 両センターともインターネット上のサイトがありますので、確認してみて下さい。

お忙しいところ、ご回答ありがとうございました。火災保険に弁護士特約はついていなかったので、日弁連等の機関に相談してみようと思います。
重ねての質問で恐縮ですが、例えば、保険会社との示談交渉とは別に、相手に直接、自転車の弁償を請求することは違法でしょうか? 

相手方の任意保険会社が交渉窓口となっている場合に、相手方保険会社を飛び越えて相手方に直接請求したような場合、相手方がハードな対応に切り替えることが懸念されます(相手方が態度を硬化させたり、弁護士対応に切り替える等)。
 いずれにしましても、簡易な相談と回答に留まる本掲示板では回答に限界があるので、ご案内した機関などに直接相談の上、適切なアドバイスを受けて頂ければと思います。

お忙しいところ、ご回答下さり、ありがとうございました。