元旦那が学区内で同棲をはじめました。

元旦那が学区内で彼女と同棲を始めました。
ママ友の中で噂になっており、親子共々迷惑をしています。移居命令や慰謝料請求はできますか?

すでに離婚しているのでいずれも難しいでしょう。
離婚時に居住条件を付ければよかったのですが、思いもよらなかったのでしょう。
離婚後の紛争調停申し立てを行って、話し合いの機会を作ることはできるでしょう。

子供に迷惑がかからないように、人目のつかないようにと言う約束はありますが、書類にしなければ意味がありませんか?

口頭合意でも、意味がないことはないでしょう。
調停を申し立てる理由にはなるでしょう。

また交際の事実をSNS上に拡散したり、口頭合意の内容をやぶり、子供を傷つけた場合は名誉毀損は該当致しますか?

名誉棄損は要件が備わっているか、また、立証が簡単ではないので、直接弁護士相談に行ってください。
終わります。