遺失物の引き取りに際して

現在、我が家の猫を遺失物として他所のご家庭にお預り頂いており、感謝しているのですが、決して少なくは無い金額の報労金が発生しており、報労金を渡し猫を引き取る事を一度限りで終わらせてくださいと警察署から言われている為、引取日までの毎日の世話代なども加算したいとの事で、やり取りが不安です。

請求権があるとの事なのでその通りなので、何か用事がある時も相手からの連絡は無く、すべて、警察署の担当部署が間に入っており、他の機関への届け出はしてない事や、私が飼っていた猫かどうか写真でちゃんと本人確認したい、住所もこちらだけが知られてしまっており、当然、救って頂いて感謝とお金も掛かっている事案である事は承知の上ですがやり取りの中で返却に積極的では無いように見受けられ、且つお金の請求が強いような気がする為に、不信感があります。
非常に心配です。

遺失物のやり取りとは通常このような物なのでしょうか?
トラブルが心配なので一人ではなく同行者を付けた方が良いでしょうか?

訂正→請求権があるとの事なのでその通りなのですが

不安であれば引き取りの対応を弁護士にご依頼いただくことは可能ですが、一般的に相当な費用がかかります。

やりとりに不審なところは多くありませんが、金銭部分で合意できるかどうかは怪しいようにも思います。現実的には、ご自身で対応いただくほかないようにも思います。