急な契約取り消し、変更についての請求

先日、大家から駐車場利用について1週間後に使用終了をお願いします。と言われました。電話で内容を聞いたら隣の空室に入居者が決まったからと言われました。実際、私は空き駐車場を契約し、使用料も払っていたわけで納得がいきません。
また、親が内容を再度確認するために電話した時は全く違う理由で駐車場を使えないと言われました。
どちらが本当かわからず、片方に嘘をついて駐車場を停止しようとしてきます。
嘘をつかれて急な契約取り消しをされることがとても不愉快で、ストレスがたまっています。

このような内容でこの物件にはいたくないのですが、別の物件に引っ越す際、立ち退き費用(清掃費、次の新居の初期費用など)を負担してもらうことは可能ですか?

お気持ちは理解できますが、ご記載いただいた事情では、立ち退き費用を負担してもらうことは難しいかと思います。
大家さんが嘘を言っているのか分かりかねますが、駐車場契約を終了させる際に理由を告げることはそもそも義務ではないと思われます。
また、仮に嘘をついていたとしても、それをもって『賃借人が引っ越しする』とまでは通常予測できないと考えられます。
したがいまして、違法性がないか、又は相当因果関係が欠けることにより、立ち退き費用を請求することは難しいと考えられます。