愛犬ががノーリードの大型犬に襲われ大怪我を負いました。

6月16日夕方愛犬(ポメラニアン11歳半)を散歩中に家から飛び出して来たノーリード(ゴールデンレトリバー)に突き飛ばされ、のしかかられ翌日から体調不良が続いたためかかりつけ病院に連れて行ったところ血液検査、超音波断層検査脾臓捻転と診断されで手術という大怪我を負わされました。かかりつつけ病院で手術後、術後膵炎、腹膜炎が発症したので日本動物高度医療センターでの入院治療となり、6月29日に退院しました。貧血もあり今後1週間から10日ほど(状態が改善されるまで)かかりつけ病院での通院での輸液治療が必要となりました。摘出した脾臓の病理検査からも外的要因が認められました。相手側への責任賠償は可能でしょうか?

相手側から個人賠償責任保険で対応すると連絡を受け保険担当からも連絡がありましたが、日本動物高度医療センターを退院後、かかりつけ医で点滴の追加治療と検査で通院中にまた調子が悪くなり7月9日に医療センターへ再入院。腎臓の悪化や腹膜炎などの術後合併症の治療をしましたが昨日15日早朝になくなりました。この場合どこまで責任をとってもらえるのでしょうか?

可能と思われます。
大型犬の管理が行き届いてない点で過失が大きく、過失相殺される可能性も低いかと思いますが、交渉ごとに不安であれば、弁護士に相談することをご検討ください。
加害者が加入しているペット保険あるいは個人賠償保険などで、他人のペットを怪我させた場合にカバーできる可能性もありますので、この点も加害者側に確認してもらうといいでしょう。