不倫相手にお金を貸していました。

父親が、知らない人と不倫をしています。

お金の貸し借りがあり、父親がお金を貸しています。振り込み用紙や手書きの借用書みたいなものが、父親のカバンから出てきました。
また、他の手紙も入っており、全て同じ人ですが不貞行為があるような文面も記載されていました。

離婚の予定はないようですが、母親は相手に慰謝料の請求と貸しているお金の請求はできるのでしょうか?

貸してるお金の請求はできませんが、不貞の証拠があれば、慰謝料請求は
できるでしょう。
借用書があるくらいですから、住所、氏名は判明しているでしょう。

>離婚の予定はないようですが、母親は相手に慰謝料の請求と貸しているお金の請求はできるのでしょうか?

不貞行為時にお母様とお父様の婚姻関係が破綻しておらず、不貞相手がお父様が既婚者であることを知っていた場合には、不貞行為に基づく慰謝料請求が可能です。

貸金については、不法原因給付に該当する可能性がありますので、請求が認められない可能性があります。