誹謗中傷の対応について

Twitterでかなりひどい誹謗中傷を受けています。

そこで質問なのですが、弁護士の方に開示請求してもらうのと、

警察の方に被害届を出すのでは、どちらが早く犯人を特定してもらえますか?

仮に警察が捜査に動くのであれば、比較的早期に特定に至る可能性があります。
もっとも、警察がすぐに動くかどうかは事案の内容や担当警察官の対応によります。
基本的には、警察への被害届け提出(又は告訴)と発信者情報開示の双方を検討し、事案の内容等に応じてどちらに力点を置くかの方針を決めることが多いと思います。
それも含めてまずは弁護士に相談をすることが望ましいです。