アルバイトは急に辞められないのか

私は3月からキャバクラで働いています。
やってみて仕事が合わなかったこと、4月から新卒入社をしたことで辞めたいと思っているのですが、辞める際は1か月前に申告することが必要と雇用契約書に書いてあり、それは私自身も把握しサインもしました。
はじめる際、ダブルワークで続けていこうか考えていたため、面接では4月の出勤は未定と伝えてあるだけで3月いっぱいで辞めたいと伝えていませんでした。ですので、先日、本日でキャバクラを辞めたい伝えると1か月前申告が必要なため急に辞めさせることはできないと言われました。
時給2000〜2500円で働きましたが、雇用契約書には1か月前申告をせずに辞めた場合の給与は県の最低賃金での支払いになりますと書いてあったため、給与は減りますがすぐにでも辞められるものだと思っていました。
もちろん私も急に辞めるのはとても迷惑をかけ失礼な事だとはわかっているのですが、どうしても精神的に辛くなってしまったためこれ以上続けたくありません。
シフトは残っていません。
この場合やはり辞めることはできなのでしょうか。また、辞めた場合損害賠償請求などされるでしょうか。

見解が分かれているところですが、14日以上前に申し出ることにより辞職することができるとする民法の規定が就業規則に優先されるという裁判例もあります。
期間の定めがある有期雇用契約の場合、期間内はやむを得ない理由が必要というのが原則となります。
雇用契約書の内容やこれまでの経緯にもよりますので、雇用契約書など資料を持参して法律事務所へ相談してみると良いでしょう。