寸借詐欺と言われています。

男女の関係で支援をしてもらってました。
こちらが鬱でしんどく、連絡を返していないと寸借詐欺だと言われ、警察に突き出すと言われています。
お金やプレゼントを全部返せば2人の問題にしてやると言われています。
どうしたらいいでしょうか。

通常は、警察が取り合うような内容ではありません。

あなたも、ここでそういう相談をしないといけないような状況になるのであればそのような行為には手を出さない方が良いと思います。

相手方とは連絡を断って無視しておけばよいでしょう。

個人情報を知られており迷惑行為が続くようであれば警察に相談をしてください。

恥ずかしい限りです。

相手は弁護士にも相談する、と言っていました。
書類などが届くのでしょうか、、、?

そこまではしてこないケースの方が多いように思いますが、
するかどうかは相手方次第ですから可能性はありますね。