脱毛サロンで解約しましたが返金がありません。解決策はありますでしょうか?

9月初旬に解約をしてサービスを受けた分を差し引いた返金がされていません。口頭では「3ヶ月ほどで返金します」と聞いていたので待っておりましたが、3ヶ月過ぎても返金が無いため相談させて頂きました。12月初旬に一度お店に電話をして返金についてクレームを入れましたが、「返金が遅れており順番に返金をしている所です。いつ返金するとは言えませんがお待ち頂ければと思います。」と言われ泣き寝入り状態です。口約束では法律違反にはならないのでしょうか?また、早く解決するための有効手段はありますでしょうか?

口約束も契約ですから、返すと言う返金義務に違反した法律違反ですよ。
ネット検索で調べて、まずは、内容証明を出すといいでしょう。

口約束では法律違反にはならないのでしょうか?

口約束でも返還する約束をしたのであれば、法的には返還義務があります。

また、早く解決するための有効手段はありますでしょうか?

例えば、内容証明を送ることは考えられると思います。
弁護士から内容証明を出してもらうことも考えられると思います。