会社の手違いで勤続年数が途切れてしまった場合の退職金支払請求について

学校法人の運営する保育園に勤務している保育士です。

同法人に9年弱所属し、保育士として4園に勤務していたのですが、現職の職場環境が酷く、退職を決めました。

3園目から4園目に異動する際、会社側の手違いで、それまで入っていた私学共済を抜け、一旦、社会福祉法人に出向した、との扱いになってしまいました。
このミスについては、法人の理事長が会社側の手違いであることを認めています。
私学財団からの退職金支払いは、あくまで社会福祉法人への出向扱い期間を抜いた前後期間それぞれでの退職金の計算となり、本来の9年弱勤続の扱いでの退職金より80万円ほど少なくなる計算です。

そのため、会社の手違いであることから、理事長がその金額を補填し支払うと言っていたのですが、
退職日が明確になった今になり突然、支払いに対応する義務はない、と態度を一変しました。
※年度末の退職を想定されていた様で、年度途中の退職を伝えたことで怒り、態度を変えた様です。

たしかに法律上は支払い義務はないとは思うのですが、
会社のミスで減額になっている退職金差額について、一度支払うと言ったものを覆されるのは納得がいかず、改めてなんらかの言質をとりながら、請求をしたいと思います。

具体的には、電話録音の上、
①私学財団から抜いてしまったのは会社のミスで、こちらに非がないこと
②差額を補填すると話していたこと
③その際、退職のタイミングによって支払い有無を変更する旨の話は無かったこと
の言質をとり、その後の対応を取ろうと考えています。

上記踏まえ、どういったアプローチが有効か、ご教示いただけますと幸いです。

会社の過失により、損害が生じているということなので、不法行為に基づく損害賠償請求が可能かと思われます。