会社での噂話などによるセクハラについて

勤務先の同部署で仲の良い同僚(同性)がいるのですが、他部署の女性社員から二人は付き合っているのではないか?ゲイなのではないか?など根も葉もない噂を吹聴されていることが判明しました。また、仕事でミスをすると二人で社内でイチャイチャしているからミスをする、いつも一緒にくっついているのが原因だ、なども言われているようです。(同部署の社員から証言有り)このような場合、相手にどのような対応をするべきでしょうか?書面のようなもので裁判を起こす意思があることを正式な文章で伝えたりはできるのでしょうか?

このような場合、相手にどのような対応をするべきでしょうか?

放っておくのも一つかと思いますし、上司、あるいはしかるべき相談窓口があるのであればそこに相談することは考えられると思います。

書面のようなもので裁判を起こす意思があることを正式な文章で伝えたりはできるのでしょうか?

最初から裁判をする気なのであれば、あえて相手に伝える必要はないと思います。