タイムカードを押すタイミング

17:15に仕事が終わるのですが、15分を過ぎてから手を洗い、その後タイムカードを押すのでしょうか。
それとも15分前に手を洗い、15分になったらタイムカードを押すのでしょうか。
15分を過ぎてタイムカードを押しても給料は変わらないので、15分前に手を洗い15分にタイムカードを押し帰るほうが得でしょうか。

手を洗うまでが「業務」かどうか,つまりあなたが終業後に手を洗うように雇い主から指示されているかによります。
飲食店などであれば業務後の手洗いまでが業務指示に含まれているのではないでしょうか。そうであればタイムカードは手洗い後に押すべきです。

17:15に仕事が終わるのですが、15分を過ぎてから手を洗い、その後タイムカードを押すのでしょうか。

手を洗うことが、業務上要求されているかどうかですね。
要求されているなら、業務のうちだと思いますので、手を洗い終わって押すべきかと思います。
要求されていないなら、押してから手を洗えばよいと思います。